Question

如图（1），三棱锥P′-A′BC′中，P′A′⊥平面A′BC′，△A′BC′是正三角形，E是P′C′的中点：如图（2），三棱锥P-ACD中，PA⊥平面ACD，∠ACD=90°，∠DAC=30°，若△P′A′C′≌△PAC，现将两个三棱锥拼接成四棱锥P-ABCD，使得面P′A′C′与面PAC完全重合，在四棱锥P-ABCD中，解答以下问题：

（I）求证：CD⊥AE；
（Ⅱ）当PA=AC=

3

时，求棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（I）利用线面垂直的判定证明线面垂直，可得线线垂直；
（II）点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半，可得VE-ABCD=

1

2

VP-ABCD，从而可求棱锥E-ABCD的体积．

解答：（I）证明：如图，由于P′A′⊥平面A′BC′，PA⊥平面ACD，∴A，B，C，D四点共面
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD
∵AC⊥CD，PA∩AC=A
∴CD⊥平面PAC，
∵E是PC的中点，∴CD⊥AE
（II）解：∵E是PC的中点，
∴点E到平面ABCD的距离等于点P到平面ABCD的距离的一半
∴V_E-ABCD=

1

2

V_P-ABCD，
∴S_ABCD=

1

2

AB•BC•sin60°+

1

2

AC•CD=

5

4

3

∴VE-ABCD=

1

2

VP-ABCD=

1

2

×

1

3

×

5 3

4

×

3

=

5

8

．

点评：本题考查线面垂直，考查四棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．