Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-lnx，g（x）=2x³-9x²+12x-3．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若关于x的方程g（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数，由导数的正负，可得函数y=f（x）的单调区间；
（2）求导数，确定函数的单调区间，可得函数的极值，利用关于x的方程g（x）=k有三个零点时g（x）_极小值＜k＜g（x）_极大值，即可求实数k的取值范围．

解答：解：（1）求导数可得f′(x)=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，x＞0，可得x＞1；令f′（x）＜0，x＞0，可得0＜x＜1，
∴函数的单调增区间是（1，+∞），单调减区间是（0，1）；
（2）g′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令g′（x）＞0，可得x＜1或x＞2；令g′（x）＜0，可得1＜x＜2，
∴函数g（x）的单调增区间是（-∞，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）
∴函数g（x）在x=1处取得极大值2，在x=2处取得极小值1
∵关于x的方程g（x）=k有三个零点
∴g（x）_极小值＜k＜g（x）_极大值
∴1＜k＜2．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查函数的零点，确定函数的极值是关键．