Question

【题目】如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且．

（1）证明：面；

（2）在棱上是否存在一点，使三棱锥是正三棱锥？证明你的结论．

（3）求以为棱，与为面的二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）不存在点F，证明详见解析；（3）

【解析】

（1）由已知求解三角形可知，，再由线面垂直判断定理证明；

（2）若三棱锥是正三棱锥，那么点在底面的射影应是正三角形的中心，

利用（1）的结论可知平面,逐步可推得矛盾；

（3）作交于，交于点，连接，可证明是与为面的二面角的平面角，再求解交的大小.

证明：底面是菱形，，

，

中，由，则，

同理，

又，

平面；

（2）在棱上不存在点，使三棱锥是正三棱锥，

假设在棱上存在点，使三棱锥是正三棱锥，过点作底面的垂线，垂足为，则为的中心，

在平面内，过作交于，

平面，平面，

这样过平面外一点，有两条直线与平面垂足，这与应过平面外有一条直线与平面垂直相矛盾，故假设不成立，

即在棱上不存在点，使三棱锥是正三棱锥.

（3）作交于，

平面， 平面，

交于点，连接，

，

平面，

是与为面的二面角的平面角，设为

，，，

，即

所以与为面的二面角的大小为.