Question

已知两点M（2，3），N（2，-3）在椭圆上，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧），且四边形MANB面积的最大值为．w
（I）求椭圆C的方程；
（II）若点N到直线AM，BM距离的和为，试判断△MAB的形状．

Answer 1

【答案】分析：（I）设直线l的方程为（m∈R），代入b²x²+a²y²=a²b²得：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R），则，，再由=能求出椭圆C的方程．
（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R），得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0，得，同理：，所以
，由此能够证明△MAB直角三角形．
解答：解：（I）设直线l的方程为（m∈R），
代入b²x²+a²y²=a²b²
得：，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x_1，2，y_1，2∈R）
则，，------（3分）
又
=，
显然当m=0时，S_MANB==（1）
由题意|MN|=6 （2）
4b²+9a²=a²b²（3）------（5分）
联立（1）、（2）、（3）解得：a²=16，b²=12，
即椭圆C的方程为：．（4）------（7分）
（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k₁（x-2）+3（5）y=k₂（x-2）+3（k_1，2∈R）
将（5）代入（4）得：（16k₁²+12）x²+（96k₁-64k₁²）x+64k₁²-192k₁-48=0------（9分）
则，
∴
∴
同理：
------（12分）
化简得：k₁²=k₂²，
∵k₁≠k₂，
∴k₁=-k₂
即直线MA与MB关于直线MN对称，
∴∠AMN=∠BMN------（14分）
∴N到直线MA与MB距离均为，
又|MN|=6，
∴∠AMN=∠BMN=，
∴．
故△MAB直角三角形．------（15分）
点评：本题主要椭圆方程的求法，判断三角形的形状．解题时要熟练掌握椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力．综合性强，是高考的重点，易错点是椭圆的知识体系不牢固．解题时要认真审题，注意化归与转化思想的灵活运用．