分析 (1)利用正弦定理,求出PM,PN,即可求S关于θ的函数关系式,M与E重合时,θ=0,N与D重合时,tan∠APD=3,即θ=$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$,即可写出θ的取值范围;
(2)当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{8}$时,S取得最小值.
解答 解:(1)在△PME中,∠EPM=θ,PE=4m,∠PEM=$\frac{π}{4}$,∠PME=$\frac{3π}{4}-θ$,
由正弦定理可得PM=$\frac{PEsin∠PEM}{sin∠PME}$=$\frac{4}{sinθ+cosθ}$,
同理,在△PNE中,PN=$\frac{2\sqrt{2}}{cosθ}$,
∴S△PMN=$\frac{1}{2}PM•PN•sin∠MPN$=$\frac{4}{co{s}^{2}θ+sinθcosθ}$=$\frac{8}{\sqrt{2}sin(2θ+\frac{π}{4})+1}$,
M与E重合时,θ=0,N与D重合时,tan∠APD=3,即θ=$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$,
∴0≤θ≤$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$,
综上所述,S△PMN=$\frac{8}{\sqrt{2}sin(2θ+\frac{π}{4})+1}$,0≤θ≤$\frac{3π}{4}-\frac{5}{4}$;
(2)当2θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$即$θ=\frac{π}{8}$时,S取得最小值$\frac{8}{\sqrt{2}+1}$=8($\sqrt{2}$-1)平方米.
点评 本题考查正弦定理,考查三角形面积的计算,考查三角函数知识的运用,属于中档题.
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A. | 5,15,5 | B. | 3,6,1 | C. | 3,10,17 | D. | 5,9,16 |
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