Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{3}{2}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知△ABC内角A，B，C对边分别为a，b，c，且f（C）=0，c=3，2sinA-sinB=0，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，可得它的最小正周期．
（2）在已知△ABC中，由f（C）=0求得C的值，再利用余弦定理求得a的值，可得b的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x-$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{cos2x}{2}$-1=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
∴它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
（2）在已知△ABC中，∵f（C）=sin（2C-$\frac{π}{6}$）-1=0，∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，∴2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，C=$\frac{π}{3}$．
又 c=3，2sinA-sinB=0，∴b=2a，由余弦定理可得 c²=9=a²+（2a）²-2a•2a•cosC=a²+4a²-2a•a，
求得a=$\sqrt{3}$，b=2a=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，根据三角函数的值求角，余弦定理的应用，属于中档题．