Question

（1）如图1所示，请证明抛物线的一个几何性质：过抛物线y²=4x的焦点F任作直线l与抛物线交于A，B两点，则在x轴上存在定点M（-1，0），使直线MF始终是∠AMB的平分线；
（2）如图2所示，对于椭圆，设它的左焦点为F；请写出一个类似地性质；并证明其真假．

Answer 1

【答案】分析：（1）设直线l的方程为y=k（x-1），则由方程组得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系得x₁+x₂，x₁x₂，从而得直线MA，MB的斜率之和为0，即得直线MF平分∠AMB．
（2）同（1）类似，过椭圆的左焦点F（-2，0）任作直线l与椭圆交于A，B两点，则在x轴上存在定点M，使直线MF始终平分∠AMB；证明与（1）相同，求出点M的坐标即可．
解答：解：（1）设直线l的方程为y=k（x-1）（k不存在时，显然成立）
则得 k²x²-（2k²+4）x+k²=0∴x₁x₂=1，
∵；
∴直线MF始终是∠AMB的平分线．
（2）过椭圆的左焦点F（-2，0）任作直线l与椭圆交于A，B两点，则在x轴上存在定点，使直线MF始终是∠AMB的平分线；
证明如下：设直线l的方程为y=k（x+2），（k不存在时，显然成立）；
由，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0；∴，设M（t，0），则；
将根与系数的关系式代入，得4t+10=0，即得点．
点评：本题考查了直线与抛物线、椭圆的综合应用问题，也考查了类比推理的数学方法；解题时应灵活应用，细心解答．