Question

（2011•怀柔区一模）已知函数f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的极值．

Answer 1

分析：（I）欲求在点x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．
（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，再求出极值即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x²-4lnx-1，
∴f（1）=0
又f′(x)=2x-

4

x

=

2(x2-2)

x

，
∴f′（1）=-2
所以y-0=-2（x-1）
即f（x）在x=1处的切线方程为2x+y-2=0-------------（5分）
（II）因为f（x）=x²-2alnx-1（a≠0）
所以f′(x)=2x-

2a

x

=

2(x2-a)

x

（x＞0）--------------（6分）
（1）当a＜0时，
因为x＞0，且x²-a＞0，
所以f'（x）＞0对x＞0恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值---------------------（8分）
（2）当a＞0时，
令f'（x）=0，解得x₁=

a

，x₂=-

a

（舍）------------------------（10分）
所以，当x＞0时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

	x	（0， a ）	a	（ a ，+∞）
	f'（x）	-	0	+
	f（x）	↘	极小值	↗

------------------------------------------------（12分）
所以，当x=

a

时，f（x）取得极小值，且f（x）_极小值=a-alna-1．
综上，当a＜0时，方程f'（x）=0无解，函数f（x）在（0，+∞）上无极值；
当a＞0时，函数f（x）在x=

a

处取得极小值f（x）_极小值=a-alna-1．--------------（13分）

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力及分类讨论思想．属于基础题．