Question

14．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-5≤0\\ y≥\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{4}\end{array}\right.$，则 $\frac{{{{（x+y）}^2}+{y^2}}}{{{x^2}+2{y^2}}}$的取值范围为[$\frac{13}{9}$，$\frac{5}{3}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据分式的性质利用转化法结合换元法进行转化求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=$\frac{{{{（x+y）}^2}+{y^2}}}{{{x^2}+2{y^2}}}$$\frac{{x}^{2}+2xy+2{y}^{2}}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2xy}{{x}^{2}+2{y}^{2}}$=1+$\frac{2•\frac{y}{x}}{1+2•（\frac{y}{x}）^{2}}$，
设k=$\frac{y}{x}$，则z=1+$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$=1+$\frac{2}{2k+\frac{1}{k}}$，
由图象知k的最大值为k=1，
当直线y=kx与y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$在第第一象限相切时，k取得最小值，此时k＞0，
此时$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$=kx，
即x²-kx+1=0，
由判别式△=k²-4=0得k=2或k=-2（舍），
即1≤k≤2，
设t=2k+$\frac{1}{k}$=2（k+$\frac{\frac{1}{2}}{k}$），则当1≤k≤2，3≤t≤$\frac{9}{2}$，
则$\frac{2}{9}$≤$\frac{1}{t}$≤$\frac{1}{3}$．
则$\frac{4}{9}$≤$\frac{2}{t}$≤$\frac{2}{3}$，
则$\frac{13}{9}$≤$\frac{2}{t}$+1≤$\frac{5}{3}$，
即$\frac{13}{9}$≤$\frac{{{{（x+y）}^2}+{y^2}}}{{{x^2}+2{y^2}}}$≤$\frac{5}{3}$，
故答案为：[$\frac{13}{9}$，$\frac{5}{3}$]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据分式的性质，利用换元法和转化法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．