Question

已知关于x的不等式

ax

x-1

＞1的解集为A，集合B={x|x≥4}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（　　）

• A．a≤

  3

  4

• B．a≥

  3

  4

• C．a≤1
• D．a≥1

Answer 1

分析：关于x的不等式

ax

x-1

＞1  即

(a-1)x+1

x-1

＞0，当a=1时满足B⊆A，当a＞1时，满足B⊆A，当a＜1时，不可能满足B⊆A，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：关于x的不等式

ax

x-1

＞1  即

ax-(x-1)

x-1

＞0，

(a-1)x+1

x-1

＞0．
当a=1时，A={x|x＞1}，∵集合B={x|x≥4}，满足B⊆A．
当a＞1时，A={x|x＞1，或 x＜

-1

a-1

}，满足B⊆A．
当a＜1时，{x|1＞x＞

-1

a-1

}，不可能满足B⊆A．
综上可得要使B⊆A成立，必须 a≥1，故实数a的取值范围是[1，+∞），
故选D．

点评：本题主要考查集合中参数的取值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．