Question

14．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则$\frac{a}{b}$等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 2bsin2A=3asinB，即2b×2sinAcosA=3asinB，由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，cosA=$\frac{3}{4}$．又c=2b．再利用余弦定理即可得出．

解答 解：∵2bsin2A=3asinB，∴2b×2sinAcosA=3asinB，
由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，
∴cosA=$\frac{3}{4}$．
又c=2b．
∴$\frac{3}{4}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{5{b}^{2}-{a}^{2}}{4{b}^{2}}$，
∴a²=2b²．
则$\frac{a}{b}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．