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13.已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明:B为锐角.

分析 根据余弦定理和基本不等式,利用分析法和综合法即可证明.

解答 解:分析法:欲证∠B为锐角,即证cosB>0,
即证$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$>0,
即证:a2+c2>b2
由于$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$,
即证a2+c2>($\frac{2ac}{a+c}$)2
即证(a2+c2)(a+c)2>4a2c2
考虑到a2+c2≥2ac,(a+c)2≥4ac,
所以(a2+c2)(a+c)2≥8a2c2>4a2c2
所以∠B为锐角
综合法:∵$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$,
∴a2+c2≥2ac,(a+c)2≥4ac,
∴(a2+c2)(a+c)2≥8a2c2>4a2c2
∴a2+c2>($\frac{2ac}{a+c}$)2
又∵$\frac{2}{b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$,
∴a2+c2>b2
即cosB>0,
∴∠B为锐角

点评 本题考查了利用综合法及分析法证明,关键是掌握综合法与分析法的原理、步骤及格式

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