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(12分)如图所示,椭圆C 的离心率,左焦点为右焦点为,短轴两个端点为.与轴不垂直的直线与椭圆C交于不同的两点,记直线的斜率分别为,且

(1)求椭圆 的方程;
(2)求证直线 与轴相交于定点,并求出定点坐标.
(3)当弦 的中点落在内(包括边界)时,求直线的斜率的取值。

(1).(2)直线 与轴相交于定点(0,2);(3)

解析试题分析:(1)由题意可知:椭圆C的离心率

故椭圆C的方程为.…………………………………………………2分
(2)设直线的方程为,M、N坐标分别为

…………………………………………………4分


将韦达定理代入,并整理得,解得
∴直线 与轴相交于定点(0,2)………………………………………………7分
(3)由(2)中,其判别式,得.①
设弦AB的中点P坐标为,则
 的中点落在内(包括边界)

将坐标代入,整理得 
解得 ②由①②得所求范围为……………………………………12分
考点:本题主要考查椭圆标准方程,椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,不等式组解法。
点评:求椭圆的标准方程是解析几何的基本问题,涉及直线与椭圆的位置关系问题,常常运用韦达定理,本题属于中档题。

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分13分)
已知椭圆C的对称轴为坐标轴,且短轴长为4,离心率为
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设椭圆C的焦点在y轴上,斜率为1的直线l与C相交于A,B两点,且
,求直线l的方程。

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(本小题满分12分)已知点F是抛物线C:的焦点,S是抛物线C在第一象限内的点,且|SF|=

(Ⅰ)求点S的坐标;
(Ⅱ)以S为圆心的动圆与轴分别交于两点A、B,延长SA、SB分别交抛物线C于M、N两点;
①判断直线MN的斜率是否为定值,并说明理由;
②延长NM交轴于点E,若|EM|=|NE|,求cos∠MSN的值.

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已知双曲线的中心在原点,对称轴为坐标轴,一条渐近线方程为,右焦点,双曲线的实轴为为双曲线上一点(不同于),直线分别与直线交于两点
(1)求双曲线的方程;
(2)是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由。

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(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
(文)已知椭圆的一个焦点为,点在椭圆上,点满足(其中为坐标原点), 过点作一斜率为的直线交椭圆于两点(其中点在轴上方,点在轴下方) .

(1)求椭圆的方程;
(2)若,求的面积;
(3)设点为点关于轴的对称点,判断的位置关系,并说明理由.

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(本小题满分13分)已知点分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆上任意一点,到焦点的距离的最大值为.
(1)求椭圆的方程。
(2)点的坐标为,过点且斜率为的直线与椭圆相交于两点。对于任意的是否为定值?若是求出这个定值;若不是说明理由。

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(本小题满分12分)已知双曲线的两个焦点为在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程;
(2)记O为坐标原点,过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F,若△OEF的面积为求直线l的方程.

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(本题满分12分)设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为,过点垂直的直线交轴负半轴于点,且
(1)求椭圆的离心率; (2)若过三点的圆恰好与直线相切,
求椭圆的方程;

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(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,焦点轴上,经过点,且抛物线的焦点为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 垂直于的直线与椭圆交于,两点,当以为直径的圆轴相切时,求直线的方程和圆的方程.

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