Question

已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆心在第一象限，点P是圆C上的一个动点，求x²+y²的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆C与两坐标轴都相切，设出圆心C的坐标为（a，a），可得圆的半径r=|a|，又圆心C到直线y=-x的距离等于，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出圆C的方程；
（2）由圆心C在第一象限，由第一问的结论得出圆C的方程，确定出圆心及半径，求出圆心C到原点的距离d，根据d+r为圆上点到原点距离的最大值，d-r为圆上的点到原点距离的最小值，根据求出的最值平方即可得到x²+y²的取值范围．
解答：解：（1）根据题意设出圆心C坐标为（a，a），半径r=|a|，
∴圆心C到直线y=-x的距离d=，又d=，
∴|2a|=2，即|a|=1，
解得：a=1或a=-1，
则圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1或（x+1）²+（y+1）²=1；
（2）∵圆心在第一象限，
∴圆C的方程为：（x-1）²+（y-1）²=1，
又P（x，y）为圆C上的动点，
∴x²+y²的表示圆上的点P到原点距离的平方，
∵圆心C到原点的距离d=，圆的半径r=1，
∴圆上的点到原点距离的最大值为d+r=+1，最小值为d-r=-1，
则x²+y²的范围是[（-1）²，（+1）²]，即[3-2，3+2]．
点评：此题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，切线的性质，其中x²+y²的表示圆山的点P到原点距离的平方，进而根据题意得出圆上的点到原点距离的最大值为d+r及最小值为d-r是解本题的关键．