Question

11．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-n（n∈N*）．正项等比数列{b_n}的首项b₁=1，且3a₂是b₂，b₃的等差中项．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，当n=1时，a₁=s₁；当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1．可得a_n．利用等比数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）数列{a_n}的前n项和s_n=n²-n，当n=1时，a₁=s₁=0；
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2．
当n=1时上式也成立，∴a_n=2n-2．
设正项等比数列{b_n}的公比为q，则，b₂=q，b₃=q²，3a₂₌₆，
∵3a₂是b₂，b₃的等差中项，∴2×6=q+q²，得q=3或q=-4（舍去），
∴b_n=3^n-1 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=$\frac{2n-2}{{3}^{n-1}}$=$\frac{2（n-1）}{{3}^{n-1}}$，
∴数列{c_n}的前n项和$\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n-1}}$T_n=$\frac{2×0}{{3}^{0}}+\frac{2×1}{{3}^{1}}+\frac{2×2}{{3}^{2}}+…+\frac{2（n-1）}{{3}^{n-1}}$…①．
$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{2×0}{{3}^{1}}+\frac{2×1}{{3}^{2}}+…+\frac{2（n-2）}{{3}^{n-1}}+\frac{2（n-1）}{{3}^{n}}$…②
①-②得$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{2}{{3}^{1}}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n-1}}-\frac{2（n-1）}{{3}^{n}}$=2×$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2（n-1）}{{3}^{n}}$=1-$\frac{2n+1}{{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{3}{2}-\frac{2n+1}{2×{3}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列的递推式的处理，及等差数列、等比数列的通项，错位相减法求和，属于中档题．