Question

已知函数f（x）=a^x-a^-x，（a＞0且a≠1），
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并说明理由．（不需要严格的定义证明，只要说出理由即可）
（3）若a=，方程f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，请求出一个长度为1的区间（a，b），使x₀∈（a，b）；如果没有，请说明理由．（注：区间（a，b）的长度=b-a）

Answer 1

解：（1）函数f（x）=a^x-a^-x为奇函数．
证明：函数f（x）=a^x-a^-x的定义域为R，关于原点对称．
∵f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）∵函数f（x）=a^x-a^-x=a^x-（）^x，
①当a＞1时，y=a^x单调递增，y=（）^x单调递减，
所以f（x）=a^x-a^-x单调递增．
②当0＜a＜1时，y=a^x单调递减，y=（）^x单调递增，
∴f（x）=a^x-a^-x单调递减．
综上所述，a＞1时，y=f（x）单调递增；0＜a＜1时，y=f（x）单调递减．
（3）当a=时，f（x）=（）^x-2^x，又f（x）=x+1，
设g（x）=f（x）-（x+1）=（）^x-2^x-（x+1），
∵g（-1）=＞0，g（0）=-1＜0，
∴g（-1）g（0）＜0，故y=g（x）存在零点x₀∈（-1，0），
∴方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．
分析：（1）函数f（x）为奇函数．证明方法是先求出函数f（x）=a^x-a^-x的定义域关于原点对称，再推导出f（-x）=-f（x）．
（2）函数f（x）=a^x-a^-x=a^x-（）^x，由a＞1和0＜a＜1两种情况，利用指数函数的性质分别讨论f（x）的单调性．
（3）设g（x）=f（x）-（x+1）=（）^x-2^x-（x+1），由g（-1）g（0）＜0，推导出方程f（x）=x+1有根x₀∈（-1，0）．
点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的判断，考查方程是否有根的判断．解题时要注意指数幂数性质、等价转化思想、分灶讨论思想的合理运用．