【题目】已知数列的满足,前项的和为,且.
(1)求的值;
(2)设,证明:数列是等差数列;
(3)设,若,求对所有的正整数都有成立的的取值范围.
【答案】(1);(2)见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)令得 (2) 因为,所以①.所以②,由②-①,得.因为,所以.所以,即,
即即可得证(3)由(2)知,因为,所以数列的通项公式为.因为,所以,所以,所以数列是常数列. 由,所以.所以.研究数列的单调性求出最小值,变量分离即可得解.
试题解析:
(1)令得.
(2)因为,所以①.
所以②,
由②-①,得.
因为,所以.
所以,即,
即,所以数列是公差为1的等差数列.
(3)由(2)知,因为,所以数列的通项公式为.
因为,所以,
所以,所以数列是常数列.
由,所以.
所以.
因为
所以数列为单调递增数列
当时, ,即的最小值为
由,所以,
而当时, 在递减, 递增,所以,
当且仅当或时取得,故.
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【题目】[选修4-4,坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为 ,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为。
(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程。
(2)设点P为曲线C上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为: ,将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线C1.
(1)求曲线C1的直角坐标方程;
(2)已知直线l与曲线C1交于A,B两点,点P(2,0),求|PA|+|PB|的值.
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【题目】某县政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价:若用水量不超过12吨时,按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时,超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照,,…,分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.
(图1) (图2)
(Ⅰ)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数(精确到0.01);
(Ⅱ)求用户用水费用(元)关于月用水量(吨)的函数关系式;
(Ⅲ)如图2是该县居民李某2017年1~6月份的月用水费(元)与月份的散点图,其拟合的线性回归方程是.若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元,试估计李某7月份的用水吨数.
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【题目】【2018江西莲塘一中、临川二中高三上学期第一次联考】二次函数的图象过原点,对,恒有成立,设数列满足.
(I)求证:对,恒有成立;
(II)求函数的表达式;
(III)设数列前项和为,求的值.
【答案】(I)证明见解析;(II);(III)2018.
【解析】试题分析:
(1)左右两侧做差,结合代数式的性质可证得,即对,恒有:成立;
(2)由已知条件可设,给定特殊值,令,从而可得:,则,,从而有恒成立,据此可知,则.
(3)结合(1)(2)的结论整理计算可得:,据此分组求和有:.
试题解析:
(1)(仅当时,取“=”)
所以恒有:成立;
(2)由已知条件可设,则中,令,
从而可得:,所以,即,
又因为恒成立,即恒成立,
当时,,不合题意舍去,
当时,即,所以,所以.
(3),
所以,
即.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数 为定义在上的奇函数.
(1)求函数的值域;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的最小值.
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【题目】如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC,M,N分别是棱CC1,AB的中点.
(1)求证:CN⊥平面ABB1A1;
(2)求证:CN∥平面AMB1.
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【题目】已知数列中, ,且对任意正整数都成立,数列的前项和为.
(1)若,且,求;
(2)是否存在实数,使数列是公比为1的等比数列,且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由;
(3)若,求.(用表示).
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【题目】已知(m,n为常数),在处的切线方程为.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若任意,使得对任意上恒有成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点,求证: .
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