Question

已知函数．
（1）若在上恒成立，求m取值范围；
（2）证明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn（）．

Answer 1

解：令在上恒成立
   4分
(1) 当时，即时
在恒成立．在其上递减．

原式成立．
当即0<m<1时
 
不能恒成立．
综上： 9分
(2) 由 (1) 取m=1有lnx
令x=n



化简证得原不等式成立．    12分

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数证明不等式的恒成立问题，以及研究函数的最值的综合运用。
（1）因为若在上恒成立，求m取值范围；那么关键是求解函数的最小值恒大于等于零即可。
（2）由 (1) 取m=1有lnx，利用放缩法得到，然后求和证明结论。
解：令在上恒成立
   4分
(1) 当时，即时
在恒成立．在其上递减．

原式成立．
当即0<m<1时
 
不能恒成立．
综上： 9分
(2) 由 (1) 取m=1有lnx
令x=n



化简证得原不等式成立．    12分