Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，侧棱与底面边长均为2，则面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值为（　　）

A． 1 2

B．2

C． 5 5

D． 2 5 5

Answer 1

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵侧棱与底面垂直，∴B₁B⊥面ABCD，
∵AC?面ABCD，∴B₁B⊥AC．
连接AC、BD，设AC∩BD=O，连接B₁O，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵B₁B⊥AC，又BB₁∩BD=B，
∴AC⊥面B₁BD，
∵OB₁?面B₁BD，∴AC⊥OB₁．
∴∠B₁OB为二面角B₁-AC-B的平面角，
即面AB₁C与底面ABCD所成的角，
∵面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD，
亦即为面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁所成的角．
∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，∴OB=1．
再在直角三角形OBB₁中，∵OB=1，BB₁=2，∴OB1=

5

．
∴sin∠B1OB=

BB1

OB1

=

2

5

=

2 5

5

．
∴则面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值为

2 5

5

．
故选D．