Question

5．有1999个集合，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1999个集合的并集有多少个元素．

Answer 1

分析 先确定任意两个集合有一个且只有一个共同的元素，再确定所有的共同元素都相等，即可得出结论．

解答 解：由题意，45+45-89=1，任意两个集合有一个且只有一个共同的元素．
假设集合A和B共同的元素是x，集合B和C共同的元素是y．
若x不等于y，则A和C共同的元素是另一个z 若z属于B，则AB和BC都有两个共同的元素，不成立
所以z不属于B，而这样的话，任意三个集合，他们两两的共同元素都不相同．
ABD三个集合中，BD共同的是w，这个w也不等于x ADE中，BE共同的是v，这个v也不等于x
以此类推，因为一共1999个集合，则除了AB还有1997，则会出现B和另一个集合的共同元素都不等于AB共同的x，而且有1997个，这显然和B只有45个元素矛盾
所以只能是AB共同的x和BC共同的y相等，
同理可得，所有的共同元素都相等，从而另外的44个都互不相等，
所以一共1999×44+1=87957个．

点评 本题考查并集及其运算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．