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【题目】已知二次函数对称轴方程为,在上的奇函数满足:当时,.

(1)求函数的解析式;

(2)判断方程的根的个数,并说明理由.

【答案】(1)(2)3个零点

【解析】

(1)根据对称轴方程求出a,通过函数的奇偶性求出gx)的表达式即可;(2)在同一个坐标系中,作出函数的图像,根据两个图象结合零点存在定理判断出根的个数.

由二次函数对称轴方程为,可得:,所以.

时,,即:

,所以, 即:

又因为是奇函数,所以,所以

即:

是奇函数可知,当时,

所以,

时,的图像可知:

两函数有且仅有一个交点;

时,的图像没有交点;

时,上单调递增,在单调递减,且函数单调递增,又,又

可知在上有一个根且1亦为它的一个根

综上所述方程的有3个根。

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