Question

已知sin

x

4

、cos

x

4

是y的方程y²+py+q=0的两个实根，设函数f(x)=p2+2(

3

-1)q-2cos2

x

4

，试问
（1）求f（x）的最值；
（2）f（x）的图象可由正弦曲线y=sinx经过怎样的变换而得到；
（3）求f（x）的单增区间．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据根与系数之间的关系，求出p，q，利用三角函数的辅助角公式将函数进行化简即可求f（x）的最值；
（2）根据三角函数图象之间的关系即可；
（3）由三角函数的单调性即可求f（x）的单增区间．

解答： 解：（1）∵sin

x

4

、cos

x

4

是y的方程y²+py+q=0的两个实根，
∴sin

x

4

+cos

x

4

=-p，sin

x

4

cos

x

4

=q，
则p²=[-（sin

x

4

+cos

x

4

）]²=1+2sin

x

4

cos

x

4

=1+sin

x

2

，
则f(x)=p2+2(

3

-1)q-2cos2

x

4

=1+sin

x

2

+2（

3

-1）sin

x

4

cos

x

4

-2cos²

x

4

=1+sin

x

2

+（

3

-1）sin

x

2

-（1+cos

x

2

）
=

3

sin

x

2

-cos

x

2

=2sin（

x

2

-

π

6

），
则f（x）的最大值为2，最小值为-2；
（2）将函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位得到y=sin（x-

π

6

）；
然后图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin（

x

2

-

π

6

），
最后；象上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=sin2（

x

2

-

π

6

）．
（3）由2kπ-

π

2

≤

x

2

-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

，k∈Z，
故f（x）的单增区间为[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

]，k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数解析式的化简，以及三角函数图象之间的变换关系，以及三角函数单调性的求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．