Question

1．已知函数f（x）=log₃x．
（1）若g（2x+1）=f（x），求函数g（x）的解析式，并写出g（x）的定义域；
（2）记h（x）=f（x-a）．
①若y=|h（x）|在$[1，\frac{3}{2}]$上的最小值为1，求实数a的值；
②若A（x+a，y₁），B（x，y₂），C（3+a，y₃）为y=h（x）图象上的三点，且满足y₁，y₂，y₃成等差数列的实数x有且只有两个不同的值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中g（2x+1）=f（x）=log₃x，利用换元法可求出函数g（x）的解析式，进而根据真数大于0，写出g（x）的定义域；
（2）求出h（x）=f（x-a）的解析式；
①将y=|h（x）|化为分段函数，结合对数函数的图象和性质及y=|h（x）|在$[1，\frac{3}{2}]$上的最小值为1，对a值进行分类讨论，可求出满足条件的a值；
②根据满足y₁，y₂，y₃成等差数列的实数x有且只有两个不同的值，可得方程x²-（2a+3）x+a²=0 在（a，+∞）上有两个不等实根，构造满足条件的不等式组，解得答案．

解答 解：（1）令t=2x+1，则t＞1，
则x=$\frac{1}{2}$（t-1），
∵g（2x+1）=f（x）=log₃x，
∴g（t）=log₃[$\frac{1}{2}$（t-1）]，
∴g（x）=log₃[$\frac{1}{2}$（x-1）]，
则g（x）的定义域为（1，+∞）…（4分）
（2）∵h（x）=f（x-a）=log₃（x-a）．
①故y=|h（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{log}_{3}（x-a），x≥a+1\\{-log}_{3}（x-a），a＜x＜a+1\end{array}\right.$，
∴函数在（a，a+1）上单调减，在（a+1，+∞） 上单调增；  …（6分）
（Ⅰ）当$a＜1＜\frac{3}{2}≤a+1$，即$\frac{1}{2}≤a＜1$时，
当$x=\frac{3}{2}$时，${y_{min}}=-{log_3}（\frac{3}{2}-a）=1$，
∴$a=\frac{7}{6}＞1$（舍）
（Ⅱ）当$1＜a+1＜\frac{3}{2}$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$时，
当x=a+1时，y_min=0（舍）
（Ⅲ）当a+1≤1，即a≤0时，
当x=1时，y_min=log₃（1-a）=1，
∴a=-2，
∴综上：a=-2；（$a=\frac{7}{6}$不舍扣2分）  …（10分）
②∵y₁，y₂，y₃成等差数列，
∴2y₂=y₁+y₃，
即2log₃（x-a）=log₃x+log₃3．
化简得：x²-（2a+3）x+a²=0   （*） …（13分）
∵满足条件的实数x有且只有两个不同的值
∴（*）在（a，+∞）上有两个不等实根，
设H（x）=x²-（2a+3）x+a²
∴$\left\{\begin{array}{l}△=（2a+3）^{2}-4{a}^{2}＞0\\ \frac{2a+3}{2}＞a\\ H（a）={a}^{2}-（2a+3）a+{a}^{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{4}$＜a＜0． …（16分）

点评 本题主要考查对数的运算及方程根的求解，函数解析式的求法，函数单调性的判定，是函数图象和性质的综合应用，属于中档题．