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【题目】已知函数.

1)若曲线的切线方程为,求实数的值;

2)若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.

【答案】1;(2

【解析】

1)根据解析式求得导函数,设切点坐标为,结合导数的几何意义可得方程,构造函数,并求得,由导函数求得有最小值,进而可知由唯一零点,即可代入求得的值;

2)将解析式代入,结合零点定义化简并分离参数得,构造函数,根据题意可知直线与曲线有两个交点;求得并令求得极值点,列出表格判断的单调性与极值,即可确定与有两个交点时的取值范围.

1)依题意,

设切点为

,则

故当时,

时,

故当时,函数有最小值,

由于,故有唯一实数根0

,则

2)由,得.

所以在区间上有两个零点等价于直线与曲线有两个交点

由于.

,解得.

变化时,的变化情况如下表所示:

3

0

+

0

极小值

极大值

所以上单调递减,在上单调递增.

又因为

故当时,直线与曲线上有两个交点,

即当时,函数在区间上有两个零点.

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