Question

某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：
（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；
（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；
（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望．

Answer 1

分析：（1）已知开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有4³，从而求解；
（2）恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率，则有C₄²C₃²A₂²，从而求解；
（3）某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别算出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），再利用期望公式求解．

解答：解：（1）每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有4³=64（3分）
（2）恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：P₂=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

（6分）
（3）设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3     （7分）
P（ξ=0）=

33

43

=

27

64

，P（ξ=1）=

C 1 3 32

43

=

27

64

，P（ξ=2）=

3 C 1 3

43

=

9

64

，P（ξ=3）=

C 3 3

43

=

1

64

，
分布列如下图：

ξ	0	1	2	3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

（12分）

点评：此题主要考查离散型随机变量的期望和方差，此类题也是高考必考的热点，平时我们要多加练习．