Question

（2012•虹口区二模）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=6，用过A₁，B，C₁三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为120．
（1）求棱AA₁的长；
（2）若O为A₁C₁的中点，求异面直线BO与A₁D₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用长方体的体积减去三棱锥的体积，可得留下几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积，从而可求棱AA₁的长；
（2））根据BC∥A₁D₁，可得∠OBC是所求异面直线所成的角，在△OBC中，利用余弦定理可求．

解答：解：（1）设AA₁=h，
∵AB=BC=6，用过A₁，B，C₁三点的平面截去长方体的一个角后，留下几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积为120．
∴V=62•h-

1

3

•

1

2

•62•h=120
∴AA₁=h=4…（6分）
（2）∵BC∥A₁D₁，∴∠OBC是所求异面直线所成的角…（8分）
在△OBC中，OB=OC=

42+(3 2 )2

=

34

，BC=6，
∴cos∠OBC=

36+34-34

2×6× 34

=

3 34

34

∴∠OBC=arccos

3 34

34

…（12分）

点评：本题考查几何体体积的计算，考查线线角，解题的关键是正确计算几何体的体积，正确运用余弦定理求解三角形中的角．