Question

【题目】设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.

Answer 1

【答案】（1）an＝22n－1.（2）Sn＝ [(3n－1)22n＋1＋2]

【解析】

(1)利用累加法求出数列{an}的通项公式为an＝22n－1.（2）利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Sn.

(1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.

而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.

(2)由bn＝nan＝n·22n－1知

Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1，①

从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1.②

①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝[(3n－1)22n＋1＋2].