Question

11．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n满足n（n+1）S_n²+（n²+n-1）S_n-1=0（n∈N^*），则S₁+S₂+…+S₂₀₁₇=$\frac{2017}{2018}$．

Answer 1

分析 n（n+1）S_n²+（n²+n-1）S_n-1=0（n∈N^*），可得[n（n+1）S_n-1]（S_n+1）=0，S_n＞0．可得S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵n（n+1）S_n²+（n²+n-1）S_n-1=0（n∈N^*），
∴[n（n+1）S_n-1]（S_n+1）=0，S_n＞0．
∴n（n+1）S_n-1=0，
∴S_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．
∴S₁+S₂+…+S₂₀₁₇=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{2017}-\frac{1}{2018}）$=$\frac{2017}{2018}$．
故答案为：$\frac{2017}{2018}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．