Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）= ax2+bx，a≠0．
（Ⅰ）若b=2，且h（x）=f（x）﹣g（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1 ， C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）b=2时，h（x）=lnx﹣ ax2﹣2x，
则h′（x）= ﹣ax﹣2=﹣ ．
因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解．
又因为x＞0时，则ax2+2x﹣1＞0有x＞0的解．
①当a＞0时，y=ax2+2x﹣1为开口向上的抛物线，ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；
②当a＜0时，y=ax2+2x﹣1为开口向下的抛物线，而ax2+2x﹣1＞0总有x＞0的解；
则△=4+4a≥0，且方程ax2+2x﹣1=0至少有一正根．此时，﹣1＜a＜0．
综上所述，a的取值范围为（﹣1，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）设点P、Q的坐标分别是（x1 ， y1），（x2 ， y2），0＜x1＜x2 ．
则点M、N的横坐标为x= ，
C1在点M处的切线斜率为k1= ，x= ，k1= ，
C2在点N处的切线斜率为k2=ax+b，x= ，k2= +b．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2 ．
即 = +b，
则
= （x22﹣x12）+b（x2﹣x1）
= （x22+bx2）﹣（ +bx1）
=y2﹣y1
=lnx2﹣lnx1 ．
所以 = ．设t= ，则lnt= ，t＞1①
令r（t）=lnt﹣ ，t＞1．则r′t= ﹣ = ．
因为t＞1时，r'（t）＞0，所以r（t）在[1，+∞）上单调递增．故r（t）＞r（1）=0．
则lnt＞ ．这与①矛盾，假设不成立．
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行
【解析】（Ⅰ）先求函数h（x）的解析式，因为函数h（x）存在单调递减区间，所以h'（x）＜0有解，求出a的取值范围；（Ⅱ）先利用导数分别表示出函数在C1在点M处的切线与C2在点N处的切线，结合过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1 ， C2于点M、N，建立关系式，通过反证法进行证明即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的性质(函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集)．