Question

2．已知函数f（x）=x³-3x²+1，给出命题
①f（x）有三个单调区间；
②f（0）=0是极大值，f（2）=-4是极小值；
③函数f（x）有三个零点；
④y=0是函数的一条切线．
其中正确的命题有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据导数和函数的单调性以及极值的关系，即可求出函数的单调区间和极值．

解答 解：∵f（x）=x³-3x²+1，
∴f′（x）=3x²-6x，
令f′（x）=0，解得x=0，或x=2，
当f′（x）＞0时，即x＜0，或x＞2时，函数f（x）为增函数，
当f′（x）＜0时，即0＜x＜2时，函数f（x）为减函数，
故函数f（x）的增区间是（-∞，0）和（2，+∞），f（x）的减区间是（0，2）；
当x=0时函数有极大值，即f（0）=1，当x=2时函数有极小值，即f（2）=-3，
故函数有3个零点，
故正确的命题有①③，
故选：B．

点评 本题考查了导数和函数的单调性以及极值的关系，属于基础题．