Question

若函数f（x）=x²+（a+2）x+3，x∈[a，b]恒满足等式f（1-x）=f（1+x），则实数b=

6

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=x²+（a+2）x+3，x∈[a，b]恒满足等式f（1-x）=f（1+x），根据函数图象的对称性，我们可得函数f（x）的图象关于直线 x=1对称，进而根据二次函数的图象和性质，我们可构造关于a的方程，解方程即可求出a值，再由函数f（x）=x²+（a+2）x+3，x∈[a，b]恒满足等式f（1-x）=f（1+x），则区间[a，b]也关于直线 x=1对称对称，即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）满足等式f（1-x）=f（1+x），
故函数f（x）的图象关于直线 x=1对称
又∵函数f（x）=x²+（a+2）x+3，
∴-

a+2

2

=1
解得a=-4
又∵x∈[a，b]
故b=6
故答案为：6

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数图象的对称性，其中根据已知中函数f（x）恒满足等式f（1-x）=f（1+x），得到函数f（x）的图象关于直线 x=1对称，是解答本题的关键，另外函数的解析式也关于直线 x=1对称对称，是进一步求出b值的关键．