Question

【题目】设函数f（x）=x3﹣3ax+b．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值．
（2）在（1）的条件下求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2﹣3a，

∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，

∴ ，∴ ，∴

（2）解：∵f′（x）=3x2﹣12，

由f′（x）=0，解得：x=±2，

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，

故f（x）在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，2）递减，在（2，+∞）递增；

∴此时x=﹣2是f（x）的极大值点，x=2是f（x）的极小值点

【解析】（1）根据导数的几何意义，可得关于a，b的方程组，解出即可；（2）首先求f′（x）=0的自变量的值，然后判断导数为0的点的两侧的导数是不是变号，根据导数的符号得到函数的单调区间以及极值点．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)，还要掌握函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)的相关知识才是答题的关键．