Question

有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有多少种？

Answer 1

1 248(种)

解：由题意知中间行的两张卡片的数字之和是5，因此中间行的两个数字应是1，4或2，3.若中间行两个数字是1，4，则有A₂²种排法，此时A、B、E、F的数字有以下几类：

A	B
C	D
E	F

(1)若不含2,3，共有A₄⁴＝24(种)排法．
(2)若含有2,3中的一个，则有C₂¹C₄³A₄⁴＝192(种)(C₂¹是从2,3中选一个，C₄³是从5,6,7,8中选3个，A₄⁴将选出的4个数字排在A、B、E、F处)．
(3)含有2,3中的两个，此时2,3不能排在一行上，因此可先从2,3中选1个，排在A，B中一处，有C₂¹A₂¹种，剩下的一个排在E、F中的一处有A₂¹种，然后从5,6,7,8中选2个排在剩余的2个位置有A₄²种．
因此共有C₂¹A₂¹A₂¹A₄²＝96(种)排法．
所以中间一行数字是1,4时共有A₂²(24＋192＋96)＝624(种)．当中间一行数字是2,3时也有624种．因此满足要求的排法共有624×2＝1 248(种)．