Question

【题目】已知函数（），．

（1）求函数单调区间；

（2）当时，

①求函数在上的值域；

②求证：，其中，．（参考数据）

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) ①；②见解析.

【解析】试题分析: （1）先求导数，再研究导函数符号：当时，恒为正；当时，有正有负，根据符号规律确定单调区间，（2）①易得函数在单调性：先减后增，故在极小值点处取最小值，最大值为两端点值的较大值，②由所证不等式的结构知，先研究数列求和：令，可得，再比较对应项大小：,这样转化为证明不等式,利用导数研究函数单调性，即可证得.

试题解析:（1）∵．

①当时，，在单调递增；

②当时，令，得，即，

∴在上单调递减，在单调递增．

（2）时，．

①由，令，

∴在单调递减，单调递增，且由，，

∴值域为．

②由，设为前项和，，

则，

设，，

在单调递减，，∴，

∴，即时，，

∴，故原不等式成立．