Question

如图在四面体D-ABC中，OA、0B、OC两两垂直，且OB=OC=3，OA=4．给出以下判断：
①存在点D（D点除外），使得四面体D-ABC有三个面是直角三角形；
②存在点D，使得点D在四面体D-ABC外接球的球面上；
③存在唯一的点D使得DD⊥平面ABC；
④存在唯一的点D使得四面体D-ABC是正棱锥；
⑤存在无数个点D，使得AD与BC垂直且相等．
其中正确命题的序号是

①②⑤

（把你认为正确命题的序号填上）．

Answer 1

分析：对于①，取AD=4，DB=DC=3，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形；
②先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可；
③利用面面垂直，可知存在无数个点，使得DC⊥平面ABC；
④根据对称性，可知在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D-ABC是正棱锥；
⑤取DB=DC，由于AB=AC，取BC中点E，可得AE⊥BC，DE⊥BC，从而BC垂直面AED，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，由此可得结论．

解答：解：对于①，∵四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OB=OC=3，OA=4，∴AC=AB=5，AB=3

2

，当四面体D-ABC与四面体O-ABC一样时，即取AD=4，DB=DC=3，四面体ABCD的三条棱DA、DB、DC两两垂直，此时点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形，故①正确；
②先找到四面体OABC的内接球的球心P，使半径为r，只需PD=r即可，∴存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上，故②正确；
③利用面面垂直，可知存在无数个点，使得DC⊥平面ABC，故③不正确；
④根据对称性，可知，在平面ABC的两侧均存在点D使得四面体D-ABC是正棱锥，故④不正确；
⑤取DB=DC，由于AB=AC，取BC中点E，可得AE⊥BC，DE⊥BC，从而BC垂直面AED，即存在点D，使CD与AB垂直并且相等，故⑤正确；
综上知，正确命题的序号为①②⑤
故答案为：①②⑤

点评：本题主要考查了棱锥的结构特征，同时考查了空间想象能力，转化与划归的思想，以及构造法的运用，属于中档题．