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已知点M(2
3
,1)在椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,椭圆的两个焦点F1(-2
3
,0)和F2(2
3
,0),斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(Ⅰ)由半焦距c=2
3
,点M(2
3
,1)在椭圆C上,可得|MF2|,|MF1|;由|MF1|+|MF2|=2a,可得a的值,从而得椭圆C的方程.
(Ⅱ)设PQ的中点为R,直线l的方程为y=-x+m;由
x2
16
+
y2
4
=1
y=-x+m
,得5x2-8mx+4m2-16=0(*);要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点,则有△>0,可得|m|<2
5
 ①,由(*)和中点坐标知xR,yR;且|BP|=|BQ|,得BR⊥PQ,即得kRQ的值;从而解得m的值,得满足条件的直线l.
解答:解:(Ⅰ)依题意知,半焦距c=2
3
,由点M(2
3
,1)在椭圆C上,得|MF2|=1,|MF1|=7;∴2a=|MF1|+|MF2|=8;∴a=4,∴b2=a2-c2=4;所以,椭圆C的方程为:
x2
16
+
y2
4
=1.
(Ⅱ)设PQ的中点为R,直线l的方程为y=-x+m;
x2
16
+
y2
4
=1
y=-x+m
,得5x2-8mx+4m2-16=0(*);
要使l与椭圆C相交于不同的P、Q两点,则有△>0;
∴△=(-8m)2-4×5(4m2-16)=16(-m2+20)>0,
化简,得|m|<2
5
.  ①
由(*)知:xR=
x1+x2
2
=
4
5
m,yR=-xR+m=
1
5
m.
且|BP|=|BQ|,所以BR⊥PQ,即kRQ•(-1)=-1;
所以
yR-2
xR-0
=
1
5
m-2
4
5
m-0
=1,解得m=-
10
3

因为
10
3
<2
5
,所以m=-
10
3
适合①. 
所以存在满足条件的直线l;y=-x-
10
3
点评:本题考查了直线与椭圆标准方程的综合应用问题,解题时要弄清题中所给的条件,灵活运用椭圆的定义,根与系数的关系式,以及中点坐标公式来进行求解.
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已知点M(3,1),圆(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过M点的圆的切线方程;
(2)若直线ax-y+4=0与圆相交于A、B两点,且弦AB的长为2
3
,求a的值.

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已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆(x-1)2+(y-2)2=4.
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(2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值;
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3
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点M(3,1),直线l:ax-y+4=0及圆C:x2+y2-2x-4y+1=0
(1)求经过M点的圆C的切线方程;
(2)若直线l与圆C相切,求a的值;
(3)若直线l与圆C相交与A,B两点,且弦AB的长为2
3
,求a的值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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3
,1)在椭圆C:
x2
a2
+
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3
,0)和F2(2
3
,0),斜率为-1的直线l与椭圆C相交于不同的P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若点B的坐标为(0,2),是否存在直线l,使△BPQ为以PQ为底边的等腰三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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