Question

7．已知函数$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-2x）+2{cos^2}x-1$
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程；
（2）将f（x）的图象左移$\frac{π}{12}$个单位，再向上移1个单位得到g（x）的图象，试求g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得函数的图象的对称轴方程．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在区间$[0，\frac{π}{2}]$的值域．

解答 解：（1）函数$f（x）=\sqrt{3}cos（\frac{π}{2}-2x）+2{cos^2}x-1$=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
故它的周期为$\frac{2π}{2}$=π，令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
故函数的图象的对称轴方程为：$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，k∈Z．
（2）将f（x）的图象左移$\frac{π}{12}$个单位，可得y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象；
再把所得图象向上移1个单位得到g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1 的图象．
由x∈区间$[0，\frac{π}{2}]$，可得 2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，故sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，
故g（x）∈[1-$\sqrt{3}$，3]．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．