Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD= ，PA=AD=2，AB=BC=1．
（1）求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；
（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，

由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

∵AD⊥平面PAB，∴ =（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，

∵ =（1，1，﹣2）， =（0，2，﹣2），

设平面PCD的法向量为 =（x，y，z），

由 ，得 ，

取y=1，得 =（1，1，1），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为

（2）解：∵ =（﹣1，0，2），设 =λ =（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），

又 =（0，﹣1，0），则 = + =（﹣λ，﹣1，2λ），

又 =（0，﹣2，2），从而cos＜ ， ＞= = ，

设1+2λ=t，t∈[1，3]，

则cos2＜ ， ＞= = ≤ ，

当且仅当t= ，即λ= 时，|cos＜ ， ＞|的最大值为 ，

因为y=cosx在（0， ）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．

又∵BP= = ，∴BQ= BP=

【解析】以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz．（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；（2）利用换元法可得cos2＜ ， ＞≤ ，结合函数y=cosx在（0， ）上的单调性，计算即得结论．