Question

（2008•上海模拟）设M是△ABC内一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积，若f(M)=(

1

2

，x，y)，则

1

x

+

4

y

的最小值是

18

．

Answer 1

分析：由平面向量的数量积运算法则及∠ABC的度数，求出|

AB

||

AC

|的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积为1，即△MBC，△MCA，△MAB的面积之和为1，根据题中定义的f(M)=(

1

2

，x，y)，得出x+y=

1

2

，利用此关系式对所求式子进行变形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．

解答：解：由

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，
得|

AB

||

AC

|=4，
所以S△=

1

2

|

AB

||

AC

|sinA=1，
∴x+y=

1

2

，
则

1

x

+

4

y

=2(

x+y

x

+

4x+4y

y

)=2(5+

y

x

+4

x

y

)≥18，
当且仅当

x= 1 6 y= 1 3

时，

1

x

+

4

y

的最小值为18．
故答案为：18

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，新定义的理解，以及基本不等式的应用，得出x+y的值后，灵活变换所求的式子是求最小值的关键．