Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n²+2n，数列{b_n}的前n项和Tn=2-b_n
（Ⅰ）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n²•b_n，证明：当且仅当n≥3时，c_n+1＜c_n．

Answer 1

分析：（1）由题意知a₁=S₁=4，a_n=S_n-S_n-1化简可得，a_n=4n，n∈N^*，再由b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），可得2b_n=b_n-1知数列b_n是等比数列，其首项为1，公比为

1

2

的等比数列，由此可知数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）由题意知C1=a12bn=16n2(

1

2

)n-1，

cn+1

cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．由

cn+1

cn

＜1得

(n+1)2

2n

＜1，解得n≥3．由此能够导出当且仅当n≥3时c_n+1＜c_n．

解答：解：（1）由于a₁=S₁=4
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+2n）-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∴a_n=4n，n∈N^*，
又当x≥n时，Tn=2-b_n，∴b_n=2-T_n，
b_n=T_n-T_n-1=（2-b_n）-（2-b_n-1），∴2b_n=b_n-1
∴数列b_n是等比数列，其首项为1，公比为

1

2

，∴bn=(

1

2

)n-1．
（2）由（1）知C1=a12bn=16n2(

1

2

)n-1，

cn+1

cn

=

16(n+1)2•( 1 2 )(n+1)-1

16n2•( 1 2 )n-1

=

(n+1)2

2n2

．
由

cn+1

cn

＜1得

(n+1)2

2n

＜1，解得n≥3．
又n≥3时，

(n+1)2

2n

＜1成立，即

cn+1

cn

＜1，由于c_n＞0恒成立．
因此，当且仅当n≥3时c_n+1＜c_n．

点评：由an= 

a1，n=1 Sn-Sn-1

可求出b_n和a_n，这是数列中求通项的常用方法之一，在求出b_n和a_n后，进而得到c_n，接下来用作差法来比较大小，这也是一常用方法．