Question

20．给出下面两个命题，命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{25-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-7}$=1表示焦点在x轴上的椭圆命题q：双曲线$\frac{{y}^{2}}{5}$-$\frac{{x}^{2}}{m}$=1的离心率e∈（1，2）已知￢p∨￢q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：当命题p为真，则$\left\{\begin{array}{l}{25-m＞0}\\{m-7＞0}\\{25-m＞m-7}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＜25}\\{m＞7}\\{m＜16}\end{array}\right.$，
即7＜m＜16，
∵双曲线$\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{m}=1$的离心率e∈（1，2），
∴a²=5，b²=m＞0，c²=5+m，
∵e∈（1，2），
∴e²∈（1，4），
即1＜$\frac{5+m}{5}$＜4，
得0＜m＜15，
即q：0＜m＜15
即当命题q为真，0＜m＜15，
∵￢p∨￢q为假，∴p∧q为真，
即p，q同时为真，
则$\left\{\begin{array}{l}{7＜m＜16}\\{0＜m＜15}\end{array}\right.$，得7＜m＜15，
则所求实数m的取值范围是7＜m＜15．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．