设M是圆x2+y2-6x-8y=0上动点,O是原点,N是射线OM上点,若|OM|•|ON|=120,求N点的轨迹方程.
分析:先设M、N的坐标分别为(x1,y1),(x,y),欲求出动点N的轨迹方程,只须求出x,y的关系式即可,结合|OM|•|ON|=120关系式,用坐标来表示距离,利用直线的斜率与坐标的关系即可求得点N的轨迹方程.
解答:解:设M、N的坐标分别为(x
1,y
1),(x,y),
由题设|OM|•|ON|=120,得
•=120,
当x
1≠0,x≠0时,有
=,设
==k,
有y=kx,y
1=kx
1,则原方程为x
12+k
2x
12-6x
1-8kx
1=0,
由于x≠0,所以(1+k
2)x
1=6+8k,
又|x
1x|(1+k
2)=120,因为x与x
1同号,
所以x
1=
,代入上式得
=6+8k,
因为k=
,所以
=6+8
,即3x+4y-60=0,
当x
1=0时,y
1=8,解得x=0,y=15,也满足方程3x+4y-60=0,
所以点N的轨迹方程是3x+4y-60=0.
点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.本题求曲线的轨迹方程采用的方法是直接法,直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.