Question

已知函数f(x)=

1

x2-2

(x＜-

2

)，数列a_n满足a1=1，

1

an+1

=f-1(an)，则通项公式a_n为（　　）

• A、2n-1
• B、

  1 2n-1

• C、

  2n-1

• D、

  1

  2n-1

Answer 1

分析：先求得函数的反函数，再由“a1=1，

1

an+1

=f-1(an)”，得到“∴

1

an+1

=

1 an2 + 2

”，进而有“

1

an+12

-

1

an2

=2”由等差数列的通项公式求解．

解答：解：∵函数f(x)=

1

x2-2

(x＜-

2

)，
∴f-1(x )=

1 x2 + 2

∵a1=1，

1

an+1

=f-1(an)
∴

1

an+1

= 

1 an2 + 2

∴

1

an+12

- 

1

an2

 =2
∴{

1

an2

}是以2为公差的等差数列
∴

1

an2

=2n-1，a_n＞0
∴an= 

1 2n-1

故选B

点评：本题主要考查数列与函数的综合综合运用，主要涉及了函数及其反函数的求法及应用，等差数列的定义及其通项公式．