如图,在底面为直角梯形的四棱锥中,平面,,,.
⑴求证:;
(2)设点在棱上,,若∥平面,求的值.
(1)证明略;(2)。
解析试题分析:(1)∵∠DAB=90°,AD=1,AB=,∴BD=2,∠ABD=30°,
∵BC∥AD∴∠DBC=60°,BC=4,由余弦定理得DC=2,
BC2=DB2+DC2,∴BD⊥DC,
∵PD⊥面ABCD,∴BD⊥PD,PD∩CD=D,∴BD⊥面PDC,
∵PC在面PDC内,∴BD⊥PC。
(2)在底面ABCD内过D作直线DF∥AB,交BC于F,
分别以DA、DF、DP为x、y、z轴建立如图空间坐标系,
A(1,0,0),B(1,,0),P(0,0,a)C、(-3,,0),
=(-3,,-a),=(-3λ,λ,-aλ),
=(0,0,a)+(-3λ,λ,-aλ)=(-3λ,λ,a-aλ),
=(0,,0),=(1,0,-a),
设=(x,y,z)为面PAB的法向量,由·=0,
得y=0,由·=0,得x-az=0,取x=a,z=1,
=(a,0,1),
由DE∥面PAB得:⊥
,∴·=0,-3aλ+a-aλ=0,∴λ=。
考点:本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。
点评:中档题,立体几何题,是高考必考内容,往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中,有“几何法”和“向量法”。利用几何法,要遵循“一作、二证、三计算”的步骤,(2)利用空间向量,省去繁琐的证明,也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图所示的几何体ABCDFE中,△ABC,△DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.
(Ⅰ)求几何体ABCDFE的体积;
(Ⅱ)证明:平面ADE∥平面BCF;
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,正三棱柱中,侧面是边长为2的正方形,是的中点,在棱上.
(1)当时,求三棱锥的体积.
(2)当点使得最小时,判断直线与是否垂直,并证明结论.
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