Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）如图，过F作两条互相垂直的直线l₁与l₂，分别交抛物线C于A、B与D、E，设AB、DE的中点分别为M、N，求△FMN面积S的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题

分析：（Ⅰ）根据抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），求出p，即可求出求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设出AB：y=kx+1，与抛物线方程联立，求出M的坐标，同理可得N的坐标，求出MN的斜率，可得MN的方程，从而可得直线MN过定点Q（0，3），表示出△FMN面积，利用基本不等式，即可求出△FMN面积S的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），
∴

p

2

=1，∴抛物线C的方程：x²=4y．
（Ⅱ）显然AB，DE的斜率都存在且不为零．
设AB：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+1 x2=4y

得，x²-4kx-4=0，
∴xM=

x1+x2

2

=2k， yM=kxM+1=2k2+1．
同理xN=-

2

k

， yN=-

1

k

xN+1=

2

k2

+1．
即M（2k，2k²+1），N(-

2

k

， 

2

k2

+1)，
∴kMN=

2k2+1- 2 k2 -1

2k+ 2 k

=k-

1

k

．
∴MN：y-2k2-1=(k-

1

k

)(x-2k)，即y=(k-

1

k

)x+3，
∴直线MN过定点Q（0，3）．
∴S=

1

2

|QF||xM-xN|=

1

2

×2×|2k+

2

k

|=2(|k|+

1

|k|

)≥4，
当|k|=

1

|k|

，即k=±1时，S_min=4．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．