Question

16．设函数f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=-$\frac{1}{2}$时，不等式f（x）≥3成立；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用零点分区间的方法，去掉绝对值，由一次函数的单调性可得f（x）的范围，即可得证；
（Ⅱ）运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值，由不等式恒成立思想可得|a-$\frac{5}{2}$|≥a，再由绝对值不等式的解法，可得a的范围．

解答 （Ⅰ）证明：当a=-$\frac{1}{2}$时，f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|，
当x$＜-\frac{1}{2}$时，f（x）=-x+$\frac{5}{2}$-x-$\frac{1}{2}$=2-2x＞3；
当x$＞\frac{5}{2}$时，f（x）=x-$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$=2x-2＞3；
当-$\frac{1}{2}≤x≤$$\frac{5}{2}$时，f（x）=-x+$\frac{5}{2}$+x+$\frac{1}{2}$=3．
则f（x）的最小值为3，
即有f等式f（x）≥3成立；
（Ⅱ）f（x）=|x-$\frac{5}{2}$|+|x-a|≥|（x-$\frac{5}{2}$）-（x-a）|=|a-$\frac{5}{2}$|，
即有f（x）的最小值为|a-$\frac{5}{2}$|，
由题意可得|a-$\frac{5}{2}$|≥a，
即为a-$\frac{5}{2}$≥a或a-$\frac{5}{2}$≤-a，
解得a$≤\frac{5}{4}$．
即有a的最大值为$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法和含绝对值函数的值域，同时考查不等式恒成立思想的运用和绝对值不等式的性质，属于中档题．