Question

已知数列{a_n}满足a₁=33，a_n+1-a_n=2n，则a_n=

n²-n+33

，

an

n

的最小值为

21

2

．

Answer 1

分析：先利用累加法求出a_n=33+n²-n，所以

an

n

=

33

n

+n-1，设f（n）=

33

n

+n-1，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到

an

n

的最小值．

解答：解：∵a_n+1-a_n=2n，∴当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2[1+2+…+（n-1）]+33=n²-n+33
且对n=1也适合，所以a_n=n²-n+33．
从而

an

n

=

33

n

+n-1
设f（n）=

33

n

+n-1，令f′（n）=

-33

n2

+1＞0，
则f（n）在(

33

，+∞)上是单调递增，在(0，

33

)上是递减的，
因为n∈N₊，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为

a5

5

=

53

5

，

a6

6

=

63

6

=

21

2

，
所以

an

n

的最小值为

a6

6

=

21

2

故答案为：n²-n+33  

21

2

点评：本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．