Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，P是BC₁上一动点，则A₁P+PC的最小值是______．

Answer 1

连A₁B，沿BC₁将△CBC₁展开与△A₁BC₁在同一个平面内，如图所示，
连A₁C，则A₁C的长度就是所求的最小值．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面为直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，
∴BC₁=2，A₁C₁=2，A₁B=2

2

，BC=1，CC₁=

3

，
即∠A₁C₁B=90°，∠CC₁B=30°，
∴∠A₁C₁C=90°+30°=120°，
由余弦定理可求得A₁C²=22+(

3

)2-2×2×

3

×cos120°=4+3+2×2×

3

×

1

2

=7+2

3

，
∴A₁P+PC的最小值是

7+2 3

，
故答案为：

7+2 3

．