Question

（1）设f（x）是定义在R上奇函数，且当x＞0时，f（x）=2^x-3，则当x＜0时，f（x）表达式为

 

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（2）设f（x）是定义在R上奇函数，且f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-3，则x∈（3，4）时，f（x）表达式为

 

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Answer 1

分析：（1）设x＜0，则-x＞0，适合x＞0时，f（x）=2^x-3，求得f（-x），再由奇函数求得f（x）．
（2）用f（x+1）=-f（x），以及是奇函数，可以求得函数是周期函数，可由x∈（0，1）时的解析式求x∈（-1，0）时的解析式，利用周期性求得x∈（3，4）时，f（x）表达式．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-3=-(

1

2

)x+3，
∴当x＜0时，f（x）=-(

1

2

)x+3；
（2）因为x∈（0，1）时，f（x）=2^x-3，
设x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
∴f（-x）=2^-x-3，
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-3=-(

1

2

)x+3，
∴当x∈（0，1）时，f（x）=-(

1

2

)x+3；
所以x∈（3，4）时，x-4∈（-1，0），
∴f（x-4）=-(

1

2

)x-4+3；
∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴f（x）是以2为周期的周期函数，
f（x-4）=f（x）=-(

1

2

)x-4+3；
∴x∈（3，4）时，f（x）=-(

1

2

)x-4+3；
故答案为：f（x）=-(

1

2

)x+3，f（x）=-(

1

2

)x-4+3．

点评：本题综合考查函数奇偶性与周期性知识的运用，把要求区间上的问题转化到已知区间上求解，是解题的关键，体现了转化的数学思想方法．属中档题．