Question

设函数f（x）=|x²-2x|．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；
（2）根据图象写出该函数在[-2，6]上的单调区间；
（3）方程f（x）=a在区间[-2，6]有两个不同的实数根，求a的取值范围．

Answer 1

解：
（1）根据题意，得f（x）=|x²-2x|=．
∴当x≤0或x≥2时，图象为抛物线开口向上的部分；当0＜x＜2时，图象为抛物线开口向下的部分，
可得函数图象如图所示 …（5分）
（2）由（1）得，函数的单调减区间为（-2，0）和（1，2）；
单调增区间为（0，1）和（2，6）．…（9分）
（3）∵方程f（x）=a在区间[-2，6]有两个不同的实数根，
f（0）=f（2）=0，f（1）=1且f（-2）=f（4）=8
∴a=0或1＜a≤8 …（14分）
分析：（1）根据二次函数图象，结合y=|f（x）|的图象的变换规律，得到牛族动物f（x）=|x²-2x|的函数图象如图所示；
（2）根据（1）作出的函数图象，结合二次函数的单调性，可得函数的单调减区间为（-2，0）和（1，2）；单调增区间为（0，1）和（2，6）．
（3）由y=|f（x）|的图象，知当a=0时，方程f（x）=a有两个实数根，而f（1）=1、f（-2）=f（4）=8，所以1＜a≤8 时方程方程f（x）=a有两个实数根，故当a=0或1＜a≤8时，方程f（x）=a在区间[-2，6]有两个不同的实数根．
点评：本题给出含有绝对值的二次函数，求作函数的图象并且求函数的单调区间，着重考查了二次函数的单调性和带绝对值的函数图象等知识点，属于中档题．